Нс 12а: НС-12А станок сверлильный настольный. Паспорт, схемы, характеристики, описание

Синус(sin), косинус(cos), тангенс(tg), котангенс(ctg) – как найти, отношение, формулы

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже.

Они пригодятся нам при решении задач.

sin	sincos
cos	1+tg	cos = sin
tg	1+ctg	sin = cos
ctg		tg = ctg

Давайте докажем некоторые из них.

1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, .
3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на получаем то есть
   Мы получили основное тригонометрическое тождество .
4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

	0
sin	0
cos					0
tg	0				−
ctg	−				0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и и равными острыми углами А и

Треугольники АВС и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому

Из этих равенств следует, что т. е. sin А = sin

Аналогично, т. е. cos А = cos и т. е. tg A = tg

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен , sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку , sin A = cos B = 0,1.

Задача 2. В треугольнике угол равен , , .

Найдите .

Решение:

Отсюда

Найдем AC по теореме Пифагора.

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против Значит, sin A

Катет, прилежащий к – это катет АС, следовательно, cos⁡ А

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:

Тогда

cos⁡ А

tg A

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен AC = 2, sin A=

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A

По теореме Пифагора получим

Ответ: 0,5.

Задача 5.

В треугольнике АВС угол С равен tg A = Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен CH – высота, AB = 13, tg A = Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = тогда b = 5a.

По теореме Пифагора ABC:

тогда

(по двум углам), следовательно откуда

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен

CH – высота, BC = 3, sin A =

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = тогда c = АВ = 18.

sin A = = cos⁡ B =

Рассмотрим BHC:

= получим

тогда BH = = 0,5,

AH = AB – BH = 18 – 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BC = 3, cos A =

Найдите АH.

Решение:

Так как для АВС: A = sin В =

а для ВНС: sin В = = , откуда СН =

По теореме Пифагора найдем ВН:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для АВС получим:

тогда

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= = =

Рассмотрим BHC :

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС=

тогда а значит и sin A = = 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = = = cos A = = =

тогда tg A = который найдем из BHC:

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, tg A = Найдите АН.

Решение:

По определению tg A=

Для BHC: , значит СН =

Для АHC: tg A= то AH =

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, sin A = Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = = sin A =

Из СВН имеем cos В = = тогда ВС =

В АВС имеем sinA = = тогда AВ =

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из ВСН:

sin В = =

Для АВС: cos A = получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора получим

х = 5 ( так как х0). Значит,

2-й способ.

(по двум углам), значит или

k = тогда АС = ; АВ =

3-й способ.

(высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

=

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = =

cos C =

Для АВС: sin А = = cos C =

Для АНВ: sin А = = то = АВ =

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A =

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А =

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном АСЕ sin А =

значит = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора:

Площадь прямоугольного треугольника равна S =

поэтому

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin Результат округлите до сотых.

Решение:

A-общий, ),

значит sin

Найдем АС по теореме Пифагора из САВ:

Тогда sin

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ =

Поскольку АСН — прямоугольный,

cos A = то есть АС =

По теореме Пифагора тогда

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 sin A = AC = 10 Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 100;

учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

cos A =

По определению cos A = значит

Так как АС=10 то откуда АВ = = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 и 4.

Решение:

Пусть ВАО =

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, =

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = а катет ВО =

Поэтому tg откуда

Ответ:

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90 угол А равен 30 АВ = 2

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим АВС:

По свойству катета, лежащего против угла имеем ВС = АВ =

В BHC: то следовательно, ВН = BC =

По теореме Пифагора найдем НС:

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, АВ = 2, Найдите АH.

Решение:

Из АВС найдем ВС = АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30),

то

Из ВСН: то следовательно,

ВН = ВС =

АН = АВ — НВ = 2 – = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

 

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 07.06.2023

“Възраждане” пак провокира хаос в парламента и успя да прекъсне работата му

Работата на Народното събрание се превръща в заложник на агресивните изблици на лидера на “Възраждане” и депутатите му. В сряда заседанието на парламента отново прекратено предсрочно именно поради тази причина. Тактиката на проруската партия явно е да ескалира напрежението в парламента и извън него, да създава впечатление за хаос и по този начин да дискредитира работата на законодателната и изпълнителната власт.

За разлика от миналата седмица, този път не се стигна до физически сблъсъци, но Костадин Костадинов и хората му успяха да попречат на Явор Божанков от “Продължаваме промяната-Демократична България” (ПП-ДБ) да се изкаже от парламентарната трибуна. Това стана минути, след като депутатите от “Възраждане” направиха възможно санкционираният по глобалния закон “Магнитски” депутат от ДПС Делян Пеевски да стане част от парламентарната комисия по конституционни въпроси.

Явор Божанков от ПП-ДБ поиска думата, за да обясни защо е гласувал “против” предложението за Пеевски. Щом излезе на трибуната, обаче, депутати от “Възраждане” го обградиха и започнаха да му пречат да говори, а той извади телефона си и започна да снима. Квесторите в залата застанаха помежду им. В създалата се суматоха председател на парламента Росен Желязков (ГЕРБ) обяви почивка в опит да успокои напрежението в залата.

Напрежение в стаята на “Възраждане”

Съпредседателят на ПП Кирил Петков използва паузата, за да отиде в стаята на “Възраждане” в опит да говори с депутатите им за станалото в залата. Така се стигна до поредно напрежение – между Петков и Костадинов. Двамата си говориха на висок тон пред медиите, които бяха пуснати да снимат ставащото.

“Господин Петков, нямате място в тази стая”, започна да крещи лидерът на “Възраждане”. Петков пък му отговори, че никой не може да си позволява да пречи на народните представители да се изказват от трибуната.

Двамата си размениха и обвинения в неадекватност. Спорът продължи няколко минути.

“След почивката Божанков отново ще излезе на трибуната. Никой в НС няма право да спира изказването на народен представител, който е избран с гласовете на българските граждани”, каза Кирил Петков пред журналисти.

Той определи като абсурд опитите на “Възраждане” да осуетят изказването на Божанков от парламентарната трибуна.

“Те не искат техните избиратели да разберат, че “Възраждане” в гласуването подкрепи Делян Пеевски за конституционната комисия”, коментира Петков.

Още миналата седмица от “Възраждане” се заканиха, че “повече няма да позволяват на депутатите от ПП-ДБ Манол Пейков и Явор Божанков да се изказват от парламентарната трибуна”. ПП-ДБ определиха това като атака срещу парламентарната република. Тогава в пленарната зала се стигна до физически сблъсъци, заплюване, заплахи, обиди, счупени очила и одрана буза на депутат, а заседанието пак беше предсрочно прекратено.

Наказание за Костадинов и предсрочния край на заседанието

След почивката председателят на НС Росен Желязков наложи наказание с порицание за нарушаване на реда в пленарната зала на Георги Георгиев от ПП-ДБ и на Деян Николов, Емил Янков, Стоян Таслаков, Славчо Крумов и Костадин Костадинов от “Възраждане”.

После Явор Божанков се опита отново да се изкаже от трибуната, а от “Възраждане” отново скочиха да му пречат, но квесторите направиха жива верига между тях.

“Уважаеми колеги от “Възраждане”, това, което правите, е противоконституционно. Вие нямате право да лишавате народен представител от правото му да представялява своите избиратели”, каза Желязков.

Божанков пак се опита да се изкаже.

От “Възраждане” започнаха да крещят, а малко след това Желязков обяви, че отстранява Костадинов от заседанието. Това решение предизвика аплодисменти в пленарната зала. Лидерът на “Възраждане” обаче не напусна залата, а депутатите му продължиха да стоят пред трибуната и да викат.

В крайна сметка Желязков реши да прекрати заседанието.

Споделяне

подкрепете ни

За честна и независима журналистика

Ще се радваме, ако ни подкрепите, за да може и занапред да разчитате на независима, професионална и честна информационно – аналитична медия.

Подкрепете ни

Прочетете нашите правила за участие във форумите.

За да коментирате, трябва да влезете в профила си. Ако нямате профил, можете да се регистрирате.

Препоръчано от редакцията

HWY 103 Транспортная развязка Бриджуотер (выезд 12A)

История вопроса

Департамент общественных работ строит новую транспортную развязку, которая обеспечит соединение с существующим бизнес-парком Бриджуотер и 125 акрами земли под застройку на северной стороне существующего шоссе. . Этот проект обеспечит прямой доступ к шоссе 103 из бизнес-парка Бриджуотер и прилегающих районов, а также улучшит связь с провинциальной сетью автомагистралей.

Описание проекта

Проект будет состоять из новой ромбовидной развязки, замены существующей конструкции автомагистрали, усовершенствования нескольких перекрестков, создания вспомогательных полос, которые будут соединять съезды между новыми выездами 12А и 13, новой эстакады на улице Сент-Филлипс с разместить новые вспомогательные полосы движения и съезды, а также новое дорожное сообщение от новой развязки до улицы Сент-Филлипс. На приведенной ниже карте показано предлагаемое расположение и конфигурация новой развязки и связанные с ней улучшения.

Транспортная развязка расположена примерно в 1,4 км к западу от съезда 12 и в 1,8 км к востоку от съезда 13. Развязка соединяется непосредственно с северной частью Логан-роуд, создавая прямой доступ в бизнес-парк. Этот проект также откроет 125 акров пригодной для застройки земли, которая в настоящее время принадлежит городу Бриджуотер, что позволит в будущем расширить бизнес-парк.

Современные кольцевые развязки будут построены на конечных пандусах у выхода 12А. Круговые перекрестки обеспечивают значительные эксплуатационные преимущества и преимущества в плане безопасности по сравнению с традиционными перекрестками с регулируемой сигнализацией или остановками.

Будут построены вспомогательные полосы для соединения съездов нового съезда 12А с существующими съездами на съезде 13. Такое соединение позволит транспортным средствам, выезжающим на трассу на одной развязке и выезжающим на другой, оставаться в пределах вспомогательной полосы и избегайте слияния с более высокой скоростью через трафик.

Было определено, что несколько перекрестков нуждаются в улучшении, чтобы должным образом обеспечить движение транспорта, особенно грузовиков, через бизнес-парк во время строительства. К таким перекресткам относятся:

• Сент-Филлипс-стрит / Логан-роуд
• Сент-Филлипс-стрит / Норт-Парк-стрит
• Реконструкция улицы Норт-Парк
• Норт-Парк-стрит / Йорк-стрит
• Норт-Парк-стрит / Венцелль Драйв
• Вентцелль Драйв / Логан Роуд
• Логан-роуд / Кинг-стрит и, возможно,
.
• Йорк-стрит / Виктория-роуд

Каждый перекресток был разработан с улучшенной геометрией, чтобы улучшить общий поток грузовиков и движение транспорта по всему бизнес-парку. Эти улучшения были завершены осенью 2021 года.

Проект также будет включать установку новых водопроводных и канализационных линий, которые соединят территорию нового бизнес-парка с существующей городской водопроводной инфраструктурой. Для облегчения прокладки новых водопроводных и канализационных линий требуется Бустерная станция. Строительство станции началось, и ожидается, что оно будет завершено к весне 2023 года. Ожидается, что установка систем водоснабжения начнется до весны 2023 года.

Тщательное планирование и проектные меры наряду с принятыми застроенные территории, пруды и ручьи, а также разрушение материалов, подверженных эрозии, сведены к минимуму.

Стоимость строительства развязки, кольцевых развязок и улучшения перекрестков в настоящее время оценивается в 50,8 миллиона долларов. Шоссе 103 является частью Национальной системы автомобильных дорог, и проект получил одобрение на получение федерального взноса в рамках Национального фонда торговых коридоров в размере до 50 процентов от общих приемлемых затрат по проекту с максимальным вкладом в размере 20,4 миллиона долларов. Город Бриджуотер выделит 8,4 миллиона долларов на модернизацию пересечения существующего бизнес-парка и строительство новых водопроводных и канализационных линий.

Статус проекта

Большая часть планирования и проектирования оставшихся работ завершена. Были завершены планы по смягчению воздействия на окружающую среду и проведена оценка состояния окружающей среды.

Строительство началось летом 2020 г. и ожидается, что оно будет завершено к осени 2024 г.

Синтез новых флуоресцентных 12a-арилзамещенных индоксилизохинолинов посредством арин-индуцированного домино-процесса

Синтез новых флуоресцентных 12

a -арилзамещенных индоксилизохинолинов через процесс домино, индуцированный арином†

А. В. Варламова, ^и Н. И. Гуранова, ^и Р. А. Новиков, ^б В. В. Ильюшенкова, ^а В. Н. Хрусталева, ^и Н. С. Балеева, ^с Т. Н. Борисова ^и и Л. Г. Воскресенский* ^а

Принадлежности автора

* Соответствующие авторы

^и Кафедра органической химии Российского университета дружбы народов, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6
Электронная почта: [email protected]

^б Институт органической химии им. Н. Д. Зелинского Российской академии наук, Ленинский проспект, 47, Москва 119991, Россия

^с Институт биоорганической химии РАН, ул. Миклухо-Маклая, д. 16/10, Москва, 117997, Россия

Аннотация