Треугольник Рёло
Треугольник Рело по-другому еще называют «круглым» треугольником. Он представляет собой область пересечения трех равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Его строят последовательным проведением трех равных окружностей. Нужно провести две окружности с одинаковым радиусом, но так, чтобы центр второй совпадал с одной из точек первой (кроме центра). Проводим третью окружность, так что бы её центр совпадал с точкой пересечения первых окружностей. Область, которая принадлежит всем трем кругам и есть треугольник Рёло. Строят его с помощью одного только циркуля. Покажем на рис. 1.
Рис. 1
Треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой. Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине.
Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° – это треугольник Рёло.
Если провести две параллельные прямые на некотором расстоянии, то фигура при качении будет касаться обеих прямых постоянно. Расстояние между ними и будет фигура постоянной ширины. Простейшей такой фигурой будет круг.
Рис. 2
Пусть а – это ширина фигуры, тогда площадь
а периметр
(рис. 2).
Также, треугольник Рёло используется в автомобильных двигателях, в грейферном механизме в кинопроекторах, в кулачковых механизмах швейных машин, механизме наручных часов. В форме треугольника Рёло можно изготавливать крышки для люков. Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник» в сечении представляет собой именно эту фигуру. Свойство треугольника Рело – качение по квадрату, позволяет применять его в интересных областях (рис.
3).
Рис. 3
Треугольник Рёло вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно касаясь всех четырёх сторон. Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах – там вершина описывает дугу эллипса. Центр этого эллипса расположен в противоположном углу квадрата, а его большая и малая оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны (рис.3).
Рис. 4
Все 4 эллипса касаются смежных сторон квадрата на расстоянии от угла (рис.4).
Среди всех многоугольников Рёло с фиксированным числом сторон и одинаковой шириной правильные многоугольники ограничивают. Если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной. Поскольку одна из прямых всегда проходит через вершину треугольника, а другая касается противоположной дуги, то ширина треугольника равна радиусу образующих его кругов (рис.
5) наибольшую площадь.
Рис. 5
Открытие треугольника Рёло сделало переворот в научно-техническом мире, так как отличительные его свойства находят множество применений.
Волшебство геометрии: применение треугольников Рёло
14 марта 2016 г.
Строгие формы вроде квадрата, прямоугольника и круга прочно вошли в обиход – это базовые очертания, которые используются при строительстве и отделке зданий, а также в ландшафтном дизайне. Но приверженцы нестандартных форм выбирают архитектурные стили, которые в некоторой степени дают свободу самовыражения.
В частности, в готической архитектуре (и не только) применяется кривая, называемая треугольником Рёло. Немецкий ученый Франц Рёло жил в XIX веке и занимался механикой. Именно он изучил и использовал в машиностроении фигуру, названную впоследствии его именем. Однако впервые в архитектуре она была применена еще в XIII веке – такова форма некоторых окон церкви Богоматери бельгийского города Брюгге.
Внешний вид и особенности
Построить данную кривую можно как вручную (при помощи линейки и циркуля), так и на компьютере в специальных программах.
1. Необходимо построить правильный треугольник.
2. Из каждой его вершины начертить окружность с радиусом, равным длине стороны треугольника.
3. Область, которая образовалась при пересечении окружностей, а также замкнутая кривая, которая ограничивает данную область, называется треугольником Рёло.
Опытные архитекторы знают множество уникальных особенностей данной фигуры, которые позволяют работать с ней с минимальными погрешностями при построении чертежей, планов и схем.
Архитектор Владимир Головчин:
«Я всегда был неравнодушен к готике. Треугольник Рёло – наиболее часто встречающийся элемент декора в этом стиле. Весьма выигрышно с таким треугольником в основании выглядят высотные здания. Они видны издалека и в отличие от зданий, у которых грани плоские, привлекают игрой света на скругленных сторонах. Если посмотреть на современные тенденции в самолетостроении, складывается впечатление, что и формы летательных аппаратов стремятся к Рёло. Здесь инженерное ремесло пересекается с трудом архитектора».
Преимущества и примеры
Казалось бы, зачем людям использовать выпуклые контуры, когда можно обойтись ровными линиями? Но применение таких фигур имеет не только эстетическое, но и функциональное значение. Например, благодаря постоянной ширине крышки для уличных люков не могут провалиться внутрь. Использование треугольника Рёло также позволяет сократить затраты на производство конструируемых элементов.
В готической архитектуре, как отмечено выше, постоянно встречаются элементы, образованные по принципу треугольника Рёло:
- стрельчатые арки;
- раскладка окон или оконные решетки на соборах и церквях;
- тимпаны – как ниши или как части фронтона.
Искусствовед Дмитрий Антропов:
«…Использование стрельчатой арки позволяло распределять массу не на всю стену, а на отдельные опоры».
Таким образом, конструктивные особенности «круглого треугольника» позволяли сделать здание не только красивым, но и более безопасным.
Встречается этот контур и в сечении зданий – например, в башне делового центра «Кёльнский треугольник» в Кёльне или в музее компании Mercedes-Benz в Штутгарте.
Декоративные приемы стилей модерн и ар-нуво то и дело приближаются к выпуклым формам «круглого треугольника», как еще называют детище Рёло. Отличный пример – двери и забор особняка Бриона в Страсбурге. Внутри элемента орнамента, называемого трикветр, также можно распознать знакомую область.
Архитектор и дизайнер Максим Казанский:
«Благодаря кривой Рёло, здания получают футуристичные очертания. Есть в ней что-то инопланетное, близкое к НЛО. Мне, как дизайнеру, этот треугольник близок, прежде всего, как часть схемы цветовой модели RGB».
Статистика использования
Несмотря на геометрическое совершенство фигуры, создание объектов на ее основе – процедура не простая и не дешевая. Окно подобной формы может быть выполнено только по индивидуальному заказу.
Проектирование стены с необычным проемом – это тоже дорогостоящее мероприятие.
Намного проще дело обстоит с предметами внутреннего убранства, их можно изготовить самостоятельно или приобрести в мебельных, строительных магазинах и гипермаркетах.
Чаще всего встречаются:
- кофейные столики;
- багеты;
- люстры;
- стулья;
- витражные элементы из оргстекла.
Открытие и исследование данного элемента обнаружило его полезные качества, и исторически так сложилось, что он оправдал себя не в искусстве, а в промышленности:
- сверло для создания квадратных отверстий;
- двигатель Ванкеля;
- грейферный и кулачковый механизмы;
- катки;
- медиаторы.
Несмотря на это, его декоративное применение целесообразно в рамках некоторых архитектурных стилей. Плавный контур выпуклого треугольника способен смягчить строгость классических линий, этим можно воспользоваться при строительстве частного дома – сооружения, которое владелец может создать на основе собственной фантазии.
Текст: Фирсова Кристина
Круговой треугольник Рело / Этюды // Математические этюды
Круговой треугольник Рело / Этюды // Математические этюдыМатематические этюды
Вернуться к списку
Вот и “Луч-2”, восьмимиллиметровый кинопроектор. Он был в каждом русском доме, где кинолюбители снимали и смотрели фильмы.
В этой карикатуре представлено геометрическое понятие, часто изучаемое в математических кружках, и его применение в нашей повседневной жизни.
Колесо… Круг. Одним из свойств круга является его постоянная ширина. Нарисуем две параллельные линии и зафиксируем расстояние между ними. Давайте начнем их вращать. Кривая (в данном случае круг) постоянно касается обеих линий. Это определение того, что замкнутая кривая имеет постоянную ширину.
Существуют ли кривые, отличные от окружностей постоянной ширины?
Рело, Франц 1829—1905
Французский ученый.
Рассмотрим правильный треугольник. На каждой стороне треугольника начертим дугу окружности радиусом, равным длине стороны. Эта кривая называется треугольником Рело. Оказывается, это кривая постоянной ширины. Как и в случае с кругом, проведем две касательные, зафиксируем расстояние между ними и начнем их вращать. Наша кривая постоянно касается обеих линий. Действительно, одна из точек касания всегда находится на одном из «углов» треугольника Рело, а другая — на противоположной дуге окружности. Поэтому ширина всегда равна радиусу окружностей, т.е. равна длине стороны исходного треугольника.
В бытовом смысле постоянная ширина кривой означает, что если сделать колеса с таким профилем, то книга будет катиться по ним, не шевелясь.
Однако сделать колесо с таким профилем невозможно, так как центр этой фигуры описывает сложную линию при качении.
Существуют ли другие кривые постоянной ширины? Оказывается, их бесконечно много.
На любом правильном многоугольнике с нечетным числом вершин можно построить кривую постоянной ширины по схеме построенного треугольника Рело. Необходимо провести дугу окружности, соединяющую концы противоположной стороны и центра в каждой вершине. В Англии монета номиналом 20 пенсов имеет форму кривой постоянной ширины, построенной на семиугольнике.
Рассматриваемые кривые не исчерпывают весь класс кривых постоянной ширины. Оказывается, существуют несимметричные кривые постоянной ширины. Мы рассматриваем произвольный набор пересекающихся прямых. Затем рассматриваем один из секторов. Проведем дугу окружности с центром в точке пересечения линий, определяющих этот сектор, и случайным радиусом. Затем рассмотрим следующий сектор и проведем окружность с центром в точке пересечения линий, ограничивающих этот сектор. Радиус выбирается так, чтобы часть уже нарисованной кривой можно было непрерывно удлинять.
Все кривые заданной ширины имеют равные периметры. Окружность и треугольник Рело выделяются из всех остальных кривых заданной ширины своими экстремальными свойствами. Окружность ограничивает наибольшую площадь, а треугольник Рело — наименьшую.
Треугольник Рело часто изучают в математических кружках. Оказывается, у этой геометрической фигуры есть интересные приложения в механике.
Смотри, это Mazda RX-7. В отличие от большинства серийных автомобилей он (а также модель RX-8) оснащен роторным двигателем Ванкеля. Как это устроено? В качестве ротора используется треугольник Рело! Ротор разделяет камеру на три части, каждая из которых по очереди становится камерой сгорания. Сначала впрыскивается топливно-воздушная смесь синего цвета, затем за счет движения ротора она сжимается, воспламеняется и закручивает ротор. Роторный двигатель лишен некоторых недостатков свободнопоршневого двигателя.
А это когтевой механизм. Он использовался в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси. Но для резкого изображения необходимо тянуть пленку на один кадр, останавливать, а потом снова быстро тянуть. И так 18 раз в секунду. Коготь-механизм решает эту проблему. В его основе треугольник Рело, вписанный в квадрат, и два параллелограмма, препятствующие его отклонениям. Действительно, так как длины противоположных сторон равны, то среднее сечение, основание и сторона квадрата всегда параллельны друг другу. Чем ближе ось зажима к вершине треугольника Рело, тем ближе фигура, описываемая зубочелюстным аппаратом, к квадрату.
Можно было бы подумать, что чисто математические задачи находят интересные приложения.
Другие этюды из раздела «Кривые постоянной ширины»
Сверление квадратных отверстий Изобретение колесаМатематические этюды
Катание с Рело
Вы когда-нибудь задумывались, почему крышка люка почти всегда круглая? Почему он не овальный или квадратный?
Кривая Рело на основе равностороннего треугольника.
Кривые Рело на основе пятиугольника (вверху) и семиугольника (внизу).
Обычно говорят, что круглая крышка, в отличие от квадратной или овальной, не выпадет в отверстие. Невозможно расположить круглую крышку так, чтобы она могла проскользнуть через чуть меньшее отверстие той же формы. Это потому, что круг имеет постоянный диаметр. Она одинаковой ширины по всему периметру.
Напротив, овал или эллипс в длину больше, чем в ширину. Всегда можно найти способ просунуть овальную крышку через отверстие такой же формы. Это также относится к квадратной или шестиугольной крышке.
Удивительно, но круг — не единственная форма, которую можно безопасно использовать в качестве крышки люка. На самом деле подойдет любая форма постоянной ширины, и таких форм бесконечно много. Простейшим примером является треугольник Рело, названный в честь выдающегося инженера-механика Франца Рело (1829–1905), который более 100 лет назад преподавал в Берлине.
Подпишитесь на новости науки, чтобы удовлетворить свой всеядный аппетит к универсальным знаниям.
Подписаться
Один из способов нарисовать треугольник Рело — начать с равностороннего треугольника, у которого три стороны одинаковой длины. Нарисуйте три дуги окружностей, каждая из которых имеет в качестве центра один из углов треугольника, а в качестве концов – два других угла. Получившийся «изогнутый треугольник», как назвал его Рело, имеет постоянную ширину, равную длине стороны внутреннего треугольника.
Эта форма с закругленными углами может быть знакома по поперечному сечению бутылки NyQuil или Pepto-Bismol. Его наиболее заметное и успешное применение вполне может быть в роторном двигателе внутреннего сгорания Ванкеля, который когда-то приводил в действие несколько типов автомобилей, производимых Mazda, и до сих пор используется в прототипе спортивного автомобиля Mazda RX-Evolv. Двигатель имел изогнутый треугольный ротор, вращающийся в корпусе особой формы.
Как и круг, треугольник Рело плотно вписывается в квадрат, стороны которого равны ширине кривой, независимо от того, в какую сторону повернут треугольник.
Действительно, скругленный треугольник может свободно вращаться внутри квадрата. Интересно, что при вращении изогнутая фигура очерчивает путь, который в конечном итоге охватывает почти все части квадрата. Это свойство лежит в основе оригинальной вращающейся дрели, которая, ограниченная специальной направляющей пластиной, просверливает квадратные отверстия.
Кривую постоянной ширины можно построить не только из равностороннего треугольника, но и из любого многоугольника с нечетным числом сторон. Таким образом, вы можете легко получить изогнутый пятиугольник, семиугольник и так далее. Некоторые монеты имеют округлую семиугольную форму, что позволяет использовать их в игровых автоматах, рассчитанных на обычные монеты.
Кривые Рело, описанные до сих пор, имеют углы – точки, где две стороны сходятся под углом. Однако из угловатых форм легко построить кривые постоянной ширины со скругленными углами. Более того, кривая постоянной ширины не обязательно должна быть симметричной или даже состоять из дуг окружности.
Следовательно, возможно неограниченное количество кривых постоянной ширины, и треугольник Рело оказывается членом семейства кривых наименьшей площади.
Почему нельзя использовать многоугольники Рело вместо колес? Проблема в том, что у этих многоугольников нет фиксированного центра вращения. Ступица круглого колеса, например, остается на фиксированной высоте над землей, обеспечивая плавное горизонтальное движение. Напротив, центр, скажем, треугольника Рело колеблется при вращении кривой. Это не имеет значения для роликов, уложенных на поверхность для облегчения прохождения тяжелого груза, но имеет значение, если ролик или колесо имеют фиксированную ось.
Фрэнсис С. Мун, профессор машиностроения и аэрокосмической техники Корнельского университета в Итаке, штат Нью-Йорк, внимательно изучил Франца Рело и его работу. Одним из особых интересов Рело была кинематика — математическое описание движения.
При разработке каталога механизмов, которые можно комбинировать для создания новых машин, Рело сосредоточился на различных способах преобразования машинами одного движения в другое.
