Треугольник рело и его применение: ТРЕУГОЛЬНИК РЕЛО: ПУТЕШЕСТВИЕ ПО ШКОЛЬНЫМ ПРЕДМЕТАМ

Тема проекта

Феномен круглого треугольника

Исполнители:

Михайлов Алексей
Дугин Павел
9 б класс
Руководитель: Метелева Т.В.

Камышлов, 2015

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………………………..3

Глава 1. История изобретения треугольника Рело………………………….4

1.1.Понятие треугольника Рело………………………………………………………….4

1.2.История изобретения треугольника Рело…………………………………….5

Глава 2. Основные характеристики и свойства треугольника Рело..7

2.1. Способы построения треугольника Рело …………………………………..7

2.2. Геометрические характеристики и свойства треугольника Рело..7

Глава 3. Применение треугольника Рело………………………………………10

Заключение …………………………………………………………………………………..…..15

Литература………………………………………………………………………………………….16

Приложение ………………………………………………………………………………………17

Введение

«Изобретением велосипеда» называют бессмысленное повторение и переоткрытие давно пройденного и известного, и совершенно напрасно. Современные инженеры, можно сказать, постоянно изобретают велосипед, внося все новые усовершенствования в его конструкцию и отдельные детали. И вот в 2009 году китайский офицер Гуан Байхуа из Циндао заново изобрел колесо. Он создал необычный велосипед: вместо круглых колес у него треугольник сзади и пятиугольник спереди. Сам изобретатель уверен, что новая модель будет пользоваться популярностью, поскольку, чтобы передвигаться на таком велосипеде, требуется больше усилий, а значит, это в какой-то степени может заменить спортивную нагрузку.
Нас заинтересовало не только само по себе данное изобретение, но и необычная геометрическая фигура — круглый треугольник. Мы узнали, что он, называется треугольником Рело и посвятили свою работу изучению его свойств и областей применения, поставили задачу выяснить, как геометрия позволяет этому чуду катиться и иметь удивительно плавный ход.

Цель работы — формирование представления о феномене круглого треугольника

Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:

· проанализировать различные источники информации по проблеме феномена круглого треугольника

· Рассмотреть и изучить геометрические свойства треугольника Рело;

· Выяснить области применения треугольника Рело.

· Найти объяснение плавности хода модели с «треугольными колесами»

Объект исследования: треугольник Рело, как технический феномен.

Предмет исследования: основные свойства треугольника Рело. Методы исследования. Для решения поставленных задач использованы: анализ литературы по теме, сбор и систематизация материалов, анализ и интерпретация полученных данных, эмпирические метод.

Гипотеза: Треугольнику Рело присущи свойства обеих геометрических фигур, используемых в его построении, кроме того он обладает собственными свойствами, которые используются в технике.

Глава 1. История изобретения треугольника Рело

1.1.Понятие треугольника Рело.

Рассмотрим правильный треугольник (с равными сторонами). На каждой стороне построим дугу окружности, радиусом, равным длине стороны. Треуго́льник Рёло́ представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.

Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.
Треугольник Рело постоянно касается обеих прямых. Действительно, одна точка касания всегда расположена в одном из «углов» треугольника Рело, а другая — на противоположной дуге окружности. Значит, ширина всегда равна радиусу окружностей, т. е. длине стороны изначального правильного треугольника. В житейском смысле постоянная ширина кривой означает, что если сделать катки с таким профилем, то книжка будет катиться по ним, не шелохнувшись.

1.2.История изобретения треугольника Рело.

Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло (1829 – 1905). Он, вероятно, был первым, кто исследовал свойства этого треугольника; также он использовал его в своих механизмах. В 1852 он окончил политехникум в Карлсруэ, с 1856 профессор Политехнического института в Цюрихе, в 1864—1896 профессор Промышленного института (позже — Высшая техническая школа) в Берлине. В 1875 впервые четко сформулировал и изложил основные вопросы структуры и кинематики механизмов, которые ранее содержались в неявной форме в работах П. Л. Чебышева и др. Рело дал определение кинематической пары, кинематической цепи и механизма как кинематической цепи принуждённого движения; предложил способ преобразования механизмов путём изменения стойки и путём изменения конструкций кинематических пар. Связал теорию механизмов и машин с проблемами конструирования, например, впервые поставил и пытался решить проблему эстетичности технических объектов. Имея в виду это направление его работ, современники Рело называли его поэтом в технике. Творчество Рело оказало значительное влияние на последующие исследования по теории механизмов.

Изучая историю происхождения треугольника Рело, мы выяснили, что Рело не является первооткрывателем этой фигуры. Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. Тем не менее, подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции, а также в Мадридском кодексе. (Приложение 1, рис.1).

Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов. (Приложение 1 рис.2)

Глава 2. Основные характеристики и свойства треугольника Рело.

2.1. Различные способы построения треугольника Рело.

Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирается произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей. (Приложение 2. Рис.3)

На каждой стороне равностороннего треугольника построим дугу окружности с центром в третьей вершине треугольника. Получим треугольник Рёло. Его ширина во всех направлениях одинакова. (Ширина фигуры в данном направлении — это расстояние между её опорными параллельными этому направлению прямыми, то есть параллельными прямыми, между которыми заключена фигура и расстояние между которыми нельзя уменьшить с сохранением этого свойства.)

2.2. Геометрические характеристики и свойства треугольника Рело

Треугольник Рело обладает следующими геометрическими характеристиками:

• 
  Плоская выпуклая геометрическая фигура
  
• 
  Кривая постоянной ширины, данные утверждения проверены опытным путем, вращением трех геометрических фигур между двумя опорными прямыми. (Приложение 3 рис.4)
  
• 
  Периметр треугольника Рело совпадает с периметром круга. Формула проверена опытным путем (Приложение 4 рис. 5), в математике носит название теоремы Барбье.
  
• 
  Также как и обычный треугольник, круг, треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой, которая имеет наименьшую площадь среди фигур постоянной ширины, и может быть вычислена по формуле . Это утверждение носит название теоремы Бляшке — Лебега.
  
• 
  Обладает осевой и центральной симметрией, имеет три оси симметрии, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также ось симметрии, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центр.
  
• 
  Центр треугольника Рело – это точка пересечения всех медиан, биссектрис и высот его правильного треугольника
  
• 
  Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей равна ширине треугольника Рело. (Приложение 5 рис.6)
  
• 
  радиус вписанной окружности
  
• 
  радиус описанной окружности
  
• 
  треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат
  
• 
  Фигура постоянной ширины может вращаться в квадрате со стороной всё время касаясь каждой из сторон.
  

.

Глава 3. Применение треугольника Рело

Применение треугольника Рело основано на его свойствах. Основные сферы применения в технике: сверло Уаттса (сверление квадратных отверстий), роторно-поршневой двигатель Ванкеля (внутри примерно цилиндрической камеры по сложной траектории движется трёхгранный ротор-поршень – треугольник Рело), грейферный механизм в кинопроекторах (используется свойство вращения треугольника Рело в квадрате со стороной ), кулачковые механизмы паровых двигателей, швейных машин и часовых механизмов, катки для транспортировки тяжелых грузов, крышки для люков (свойство постоянной ширины), в качестве медиатора. Кроме того, еще с XIII века используется свойство симметричности и гармонии в архитектурных сооружениях на основе стрельчатых арок и элементов орнамента.

Рассмотрим по подробнее, применение треугольника Рело, в некоторых механических устройствах. В 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрёл инструмент для сверления квадратных отверстий (Приложение 6 рис.7), с 1916 года сверла находятся в серийном производстве. Сверло Уаттса представляет собой треугольник Рело, в котором заточены ржущие кромки и прорезаны углубления для отвода стружки. Замечено  что  вершины  треугольника  Рёло  описывают  квадрат  только  при  вращение  центра  строго  по  фигуре  состоящей  из  4  дуг  эллипсов.  Отсюда  и  сложность  создания  такого  сверла,  так  как  обычная  дрель  вращает  сверло  вокруг  своей  оси.

Треугольник Рело используется и в автомобильных двигателях (Приложение 7 рис.8). В 1957 году немецкий инженер, изобретатель Ф. Ванкель, сконструировал роторно-поршневой двигатель. Внутри примерно цилиндрической камеры по сложной траектории движется трёхгранный ротор-поршень – треугольник Рело. Он вращается так, что три его вершины находятся в постоянном контакте с внутренней стенкой корпуса, образуя три замкнутых объёма, или камеры сгорания.

Фактически каждая из трёх боковых поверхностей ротора действует как поршень. При всех достоинствах РПД – компактности, приемистости, отсутствии кривошипно-шатунного и газораспределительного механизмов, а так же значительно меньших габаритов и массе при одинаковой с поршневыми двигателями внутреннего сгорания мощности, он имеет и ряд серьезных недостатков: часто выходящие из строя уплотнительные элементы, плохая приспосабливаемость к изменениям внешней нагрузки, повышенный расход топлива и неудовлетворительные показатели по выбросам в отработавших газах.Тем не менне в серийном производстве находятся автомобили Mazda RX-8.

Поиски альтернативных видов топлива для автомобилей заставил вновь обратить внимание на роторно-поршневой двигатель Ванкеля. Разработчики Mazda уверяют, что по природе своей роторно-поршневой агрегат гораздо лучше приспособлен для работы на водороде, нежели традиционные моторы. Впрочем, по прогнозам специалистов, уже к 2025 году более четверти мирового автопарка будет использовать в качестве топлива водород. Так что возможно, будущее за РПД

В кинематографии используется —  «Грейферный»  механизм  (Приложение 8 рис.9),  который  осуществляет  покадровое  перемещение  плёнки  в  кинопроекторах.  Устройство грейферного механизма основано на треугольнике Рело, вписанном в квадрат и двойном параллелограмме, который не дает квадрату наклоняться в стороны. Действительно, т.к. длины противоположных сторон равны, то среднее звено при всех движениях остается параллельным основанию, а сторона квадрата всегда параллельной среднему звену. Чем ближе ось крепления к вершине треугольника Рело, тем более близкую к квадрату фигуру описывает зубчик грейфера. Такой механизм обеспечивает равномерное вращение оси, чтобы на экране было четкое изображение, пленку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть и так 18 раз в секунду.

В форме треугольника Рёло можно изготавливать крышки для люков — опытным путем доказано, что благодаря постоянной ширине они не могут провалиться в люк. В Сан-Франциско, для системы рекуперирования воды корпуса люков имеют форму треугольника Рёло. За счет того, что у треугольника Рело площадь меньше, чем у круга, себестоимость люков в форме треугольников Рело была бы ниже, чем у традиционно круглых. Перейдя на серийное производство люков в форме треугольника Рело, на наш взгляд, можно было бы быстрее решить проблему открытых колодцев и избежать травматизма и смертей людей.

Возможно  применение  треугольника  Рёло  и в  мотоиндустрии.  Всем  известно,  для  того,  чтобы  приводить  мотоцикл  в  движение  необходимо  «крутить  ручку  газа».  В  мотоиндустрии  проблема  с  хорошим  хватом  этой  ручки  стоит  остро.  Её  решали  по-разному,  к  примеру:  используя  материалы,  повышающие  трение  между  перчаткой  и  ручкой  газа.  К  тому  же,  при  длительной  езде  рука  попросту  устает.  Ради  решения  этой  проблемы,  специалисты, экспериментально,  изготовили  из  дерева  ручку,  которая  при  фронтальном  разрезе  имела  форму  треугольника  Рёло  и,  как  оказалось,  она  идеально  повторяет  внутренние  контуры  закрытой  ладони,  и  удерживать  такую  рукоять  гораздо  легче.  

Как  оказалось,  при  простейшем  изучении  вашей  ладони  вы  увидите,  что  если  собрать  руку  «трубочкой»,  как  будто  вы  держите  что-нибудь  круглое,  то  вторая  и  третья  фаланга  второго,  третьего  и  четвертого,  а  также  вторая  фаланга  первого  пальца  (замыкающего  «кольцо»  из  вашей  ладони)  образуют  вершины  круглого  треугольника,  что  полностью  доказывает  удобство такой ручки.  Данное  открытие  можно  использовать  не  только  для  ручек  мотоцикла,  но  и  везде  где  необходимо  удерживать  с  сопротивлением  поворотную  рукоять  такого  типа.

Форма треугольника Рёло, его свойство симметричности, используется и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку, однако целиком он встречается в готических сооружениях довольно редко. Окна в форме треугольника Рёло использовали еще в VIII векев церкви Богоматери в Брюгге, а также в шотландской церкви в Аделаиде. Как элемент орнамента он встречается на оконных решётках цистерцианского аббатства в швейцарской коммуне Отрив (Приложение 9 рис. 10)

Треугольник Рёло используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник» в сечении представляет собой именно эту фигуру.

В научно-фантастическом рассказе Пола Андерсона «Треугольное колесо» экипаж землян совершил аварийную посадку на планете, население которой не использовало колёса, так как всё круглое находилось под религиозным запретом. В сотнях километров от места посадки предыдущая земная экспедиция оставила склад с запасными частями, но перенести оттуда необходимый для корабля двухтонный атомный генератор без каких-либо механизмов было невозможно. В итоге землянам удалось соблюсти табу и перевезти генератор, используя катки с сечением в виде треугольника Рёло.

Заключение
Несколько тысяч лет назад было изобретено колесо, которое произвело переворот в жизни человека. Определяющим свойством, следствием которого стало техническое завоевание мира, стало свойство постоянства ширины. Но, как оказалось, круг – не единственная фигура, которая обладает этим свойством. Вызвавший интерес, треугольник Рело, также принадлежит этому семейству.

Изучив  литературу,  просмотрев  видео  материалы,  рассмотрев  большое  количество  областей,  где  только  возможно  применение  треугольника  Рёло,  мы  получили  интересный  результат.  А  заключается  он  в  том,  что  применение  данного  треугольника  в  окружающем  нас  мире,  может  быть  гораздо  большем,  чем  мы  могли  бы  подумать.  Мы считаем,  что  нельзя  так  беззаботно  обходить  треугольник  Рёло,  его  можно  использовать  в  различных  механизмах.

В своей работе мы не только изучили его свойства, геометрические характеристики, историю изобретения, но и рассмотрели сферы применения этой выпуклой, симметричной фигуры постоянной ширины. Выдвинутая нами гипотеза о свойствах этой фигуры нашла свое подтверждение. Кроме того, мы ответили для себя на ряд вопросов познавательного характера: какие геометрические свойства обеспечивают плавность хода велосипеда с «треугольными» колесами, почему канализационные люки делают круглыми или в форме треугольника Рело.

Не менее познавательной оказалась информация о сферах применения «круглого» треугольника не только в технике, но и в архитектуре, литературе.

Таким образом, поставленные нами задачи, реализованы в полном объеме

Литература

1. 
   Велосипед с треугольным колесом// Материал сайта Веломастерская «Две звезды» [Электронный ресурс] -Режим доступа. – URL: http://velostars.ru/news/velosiped-s-treugolnyim-kolesom.html
   
2. 
   Треугольник Рёло// Материал из Википедии — свободной энциклопедии[Электронный ресурс] -Режим доступа. – URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/
   
3. 
   Бронштейн, И.Н., Семендяев, К.А., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов.// – М.:Просвещение,1992.
   
4. 
   Коксетер, С.М., Грейтцер, С.Л., Новые встречи с геометрией. //– М., Наука, 1978.-223с.
   
5. 
   Конфорович, А.Г., Некоторые математические задачи//. – Киев, Родная школа, 1981.-189с.
   
6. 
   Радемахер Г., Тёплиц О. Числа и фигуры – М., Физматгиз, 1962. -263 с.
   

1. 
   http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%A0%D1%91%D0%BB%D0%BE
   
2. 
   http://www.popmech.ru/article/5480-kolesa-s-uglami/
   
3. 
   http://www.etudes.ru/ru/etudes/mazda/
   

Рис.1

Рис.2

Приложение 2

Рис.3

Приложение 3

Рис.4

Приложение 4

Рис.5

Приложение 5

рис.6

Приложение 6

Рис.7
Приложение 7

рис.8

Приложение 8

рис.9

Приложение 9

рис.10