Треугольник рело и его применение: ТРЕУГОЛЬНИК РЕЛО: ПУТЕШЕСТВИЕ ПО ШКОЛЬНЫМ ПРЕДМЕТАМ

Треугольник Рёло

Треугольник Рело по-другому еще называют «круглым» треугольником. Он представляет собой область пересечения трех равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Его строят последовательным проведением трех равных окружностей. Нужно провести две окружности с одинаковым радиусом, но так, чтобы центр второй совпадал с одной из точек первой (кроме центра). Проводим третью окружность, так что бы её центр совпадал с точкой пересечения первых окружностей. Область, которая принадлежит всем трем кругам и есть треугольник Рёло. Строят его с помощью одного только циркуля. Покажем на рис. 1.

Рис. 1

Треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой. Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° – это треугольник Рёло.

Если провести две параллельные прямые на некотором расстоянии, то фигура при качении будет касаться обеих прямых постоянно. Расстояние между ними и будет фигура постоянной ширины. Простейшей такой фигурой будет круг.

Рис. 2

Пусть а – это ширина фигуры, тогда площадь

а периметр

 (рис. 2).

Также, треугольник Рёло используется в автомобильных двигателях, в грейферном механизме в кинопроекторах, в кулачковых механизмах швейных машин, механизме наручных часов. В форме треугольника Рёло можно изготавливать крышки для люков. Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник» в сечении представляет собой именно эту фигуру. Свойство треугольника Рело – качение по квадрату, позволяет применять его в интересных областях (рис. 3).

Рис. 3

Треугольник Рёло вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно касаясь всех четырёх сторон. Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах – там вершина описывает дугу эллипса. Центр этого эллипса расположен в противоположном углу квадрата, а его большая и малая оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны (рис.3).

Рис. 4

Все 4 эллипса касаются смежных сторон квадрата на расстоянии  от угла (рис.4).

Среди всех многоугольников Рёло с фиксированным числом сторон и одинаковой шириной правильные многоугольники ограничивают. Если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной. Поскольку одна из прямых всегда проходит через вершину треугольника, а другая касается противоположной дуги, то ширина треугольника равна радиусу образующих его кругов (рис. 5) наибольшую площадь.

Рис. 5

Открытие треугольника Рёло сделало переворот в научно-техническом мире, так как отличительные его свойства находят множество применений.

Волшебство геометрии: применение треугольников Рёло

14 марта 2016 г.

Строгие формы вроде квадрата, прямоугольника и круга прочно вошли в обиход – это базовые очертания, которые используются при строительстве и отделке зданий, а также в ландшафтном дизайне. Но приверженцы нестандартных форм выбирают архитектурные стили, которые в некоторой степени дают свободу самовыражения. 

В частности, в готической архитектуре (и не только) применяется кривая, называемая треугольником Рёло. Немецкий ученый Франц Рёло жил в XIX веке и занимался механикой. Именно он изучил и использовал в машиностроении фигуру, названную впоследствии его именем. Однако впервые в архитектуре она была применена еще в XIII веке – такова форма некоторых окон церкви Богоматери бельгийского города Брюгге. 

Внешний вид и особенности

Построить данную кривую можно как вручную (при помощи линейки и циркуля), так и на компьютере в специальных программах.

1. Необходимо построить правильный треугольник.
2. Из каждой его вершины начертить окружность с радиусом, равным длине стороны треугольника.
3. Область, которая образовалась при пересечении окружностей, а также замкнутая кривая, которая ограничивает данную область, называется треугольником Рёло. 

Опытные архитекторы знают множество уникальных особенностей данной фигуры, которые позволяют работать с ней с минимальными погрешностями при построении чертежей, планов и схем. 

Архитектор Владимир Головчин:

«Я всегда был неравнодушен к готике. Треугольник Рёло – наиболее часто встречающийся элемент декора в этом стиле. Весьма выигрышно с таким треугольником в основании выглядят высотные здания. Они видны издалека и в отличие от зданий, у которых грани плоские, привлекают игрой света на скругленных сторонах. Если посмотреть на современные тенденции в самолетостроении, складывается впечатление, что и формы летательных аппаратов стремятся к Рёло. Здесь инженерное ремесло пересекается с трудом архитектора».

 

Преимущества и примеры

Казалось бы, зачем людям использовать выпуклые контуры, когда можно обойтись ровными линиями? Но применение таких фигур имеет не только эстетическое, но и функциональное значение. Например, благодаря постоянной ширине крышки для уличных люков не могут провалиться внутрь. Использование треугольника Рёло также позволяет сократить затраты на производство конструируемых элементов.

В готической архитектуре, как отмечено выше, постоянно встречаются элементы, образованные по принципу треугольника Рёло:

• стрельчатые арки;
• раскладка окон или оконные решетки на соборах и церквях;
• тимпаны – как ниши или как части фронтона. 

Искусствовед Дмитрий Антропов:

«…Использование стрельчатой арки позволяло распределять массу не на всю стену, а на отдельные опоры».

Таким образом, конструктивные особенности «круглого треугольника» позволяли сделать здание не только красивым, но и более безопасным.  

Встречается этот контур и в сечении зданий – например, в башне делового центра «Кёльнский треугольник» в Кёльне или в музее компании Mercedes-Benz в Штутгарте. 

Декоративные приемы стилей модерн и ар-нуво то и дело приближаются к выпуклым формам «круглого треугольника», как еще называют детище Рёло. Отличный пример – двери и забор особняка Бриона в Страсбурге. Внутри элемента орнамента, называемого трикветр, также можно распознать знакомую область.  

Архитектор и дизайнер Максим Казанский:

«Благодаря кривой Рёло, здания получают футуристичные очертания. Есть в ней что-то инопланетное, близкое к НЛО. Мне, как дизайнеру, этот треугольник близок, прежде всего, как часть схемы цветовой модели RGB». 

Статистика использования

Несмотря на геометрическое совершенство фигуры, создание объектов на ее основе – процедура не простая и не дешевая. Окно подобной формы может быть выполнено только по индивидуальному заказу. Проектирование стены с необычным проемом – это тоже дорогостоящее мероприятие. 

Намного проще дело обстоит с предметами внутреннего убранства, их можно изготовить самостоятельно или приобрести в мебельных, строительных магазинах и гипермаркетах. 

Чаще всего встречаются:

• кофейные столики;
• багеты;
• люстры;
• стулья;
• витражные элементы из оргстекла. 

Открытие и исследование данного элемента обнаружило его полезные качества, и исторически так сложилось, что он оправдал себя не в искусстве, а в промышленности:

• сверло для создания квадратных отверстий;
• двигатель Ванкеля;
• грейферный и кулачковый механизмы;
• катки;
• медиаторы. 

Несмотря на это, его декоративное применение целесообразно в рамках некоторых архитектурных стилей. Плавный контур выпуклого треугольника способен смягчить строгость классических линий, этим можно воспользоваться при строительстве частного дома – сооружения, которое владелец может создать на основе собственной фантазии.  

Текст: Фирсова Кристина

Прокатывание с помощью Reuleaux

Вы когда-нибудь задумывались, почему крышка люка почти всегда круглая? Почему он не овальный или квадратный?

Кривая Рело на основе равностороннего треугольника.

Кривые Рело на основе пятиугольника (вверху) и семиугольника (внизу).

Обычно говорят, что круглая крышка, в отличие от квадратной или овальной, не выпадет в отверстие. Невозможно расположить круглую крышку так, чтобы она могла проскользнуть через чуть меньшее отверстие той же формы. Это потому, что круг имеет постоянный диаметр. Она одинаковой ширины по всему периметру.

Подпишитесь на последние из

Science News

Заголовки и резюме последних Science News статей, доставленных на ваш почтовый ящик

Напротив, овал или эллипс в длину больше, чем в ширину. Всегда можно найти способ просунуть овальную крышку через отверстие такой же формы. Это также относится к квадратной или шестиугольной крышке.

Удивительно, но круг — не единственная форма, которую можно безопасно использовать в качестве крышки люка. На самом деле подойдет любая форма постоянной ширины, и таких форм бесконечно много. Простейшим примером является треугольник Рело, названный в честь выдающегося инженера-механика Франца Рело (1829 г.).–1905), который более 100 лет назад был учителем в Берлине.

Один из способов нарисовать треугольник Рело — начать с равностороннего треугольника, у которого три стороны одинаковой длины. Нарисуйте три дуги окружностей, каждая из которых имеет в качестве центра один из углов треугольника, а в качестве концов – два других угла. Получившийся «изогнутый треугольник», как назвал его Рело, имеет постоянную ширину, равную длине стороны внутреннего треугольника.

Эта форма с закругленными углами может быть знакома по поперечному сечению бутылки NyQuil или Pepto-Bismol. Его наиболее заметное и успешное применение вполне может быть в роторном двигателе внутреннего сгорания Ванкеля, который когда-то приводил в действие несколько типов автомобилей, производимых Mazda, и до сих пор используется в прототипе спортивного автомобиля Mazda RX-Evolv.

Двигатель имел изогнутый треугольный ротор, вращающийся в корпусе особой формы.

Как и круг, треугольник Рело плотно вписывается в квадрат, стороны которого равны ширине кривой, независимо от того, в какую сторону повернут треугольник. Действительно, скругленный треугольник может свободно вращаться внутри квадрата. Интересно, что при вращении изогнутая фигура очерчивает путь, который в конечном итоге охватывает почти все части квадрата. Это свойство лежит в основе оригинальной вращающейся дрели, которая, ограниченная специальной направляющей пластиной, просверливает квадратные отверстия.

Кривую постоянной ширины можно построить не только из равностороннего треугольника, но и из любого многоугольника с нечетным числом сторон. Таким образом, вы можете легко получить изогнутый пятиугольник, семиугольник и так далее. Некоторые монеты имеют округлую семиугольную форму, что позволяет использовать их в игровых автоматах, рассчитанных на обычные монеты.

Кривые Рело, описанные до сих пор, имеют углы – точки, где две стороны сходятся под углом. Однако из угловатых форм легко построить кривые постоянной ширины со скругленными углами. Более того, кривая постоянной ширины не обязательно должна быть симметричной или даже состоять из дуг окружности. Следовательно, возможно неограниченное количество кривых постоянной ширины, и треугольник Рело оказывается членом семейства кривых наименьшей площади.

Почему нельзя использовать многоугольники Рело вместо колес? Проблема в том, что у этих многоугольников нет фиксированного центра вращения. Ступица круглого колеса, например, остается на фиксированной высоте над землей, обеспечивая плавное горизонтальное движение. Напротив, центр, скажем, треугольника Рело колеблется при вращении кривой. Это не имеет значения для роликов, уложенных на поверхность для облегчения прохождения тяжелого груза, но имеет значение, если ролик или колесо имеют фиксированную ось.

Фрэнсис С. Мун, профессор машиностроения и аэрокосмической техники Корнельского университета в Итаке, штат Нью-Йорк, внимательно изучил Франца Рело и его работу. Одним из особых интересов Рело была кинематика — математическое описание движения.

При разработке каталога механизмов, которые можно было бы комбинировать для создания новых машин, Рело сосредоточился на различных способах, которыми машины преобразуют одно движение в другое. Паровоз, например, представляет собой машину, преобразующую возвратно-поступательное движение поршня во вращение его ведущих колес.

У Корнелла есть коллекция из более чем 200 механических моделей, основанных на проектах, созданных Рело для иллюстрации его идей. Университет приобрел модели в 1882 году, чтобы они служили учебными пособиями при обучении инженеров-механиков.

Мун отмечает, что треугольник Рело появился раньше Рело. «Он использовался в качестве кулачка с принудительным возвратом в первых паровых двигателях», — говорит Мун. В коллекции механизмов Корнелла есть модель такого устройства.

По сей день треугольники Рело и их собратья постоянной ширины остаются объектами восхищения в классе и в других местах.

Первоначально опубликовано: 19.10.96

Обновлено: 20.09.03

Треугольник Рело и кривые постоянной ширины

Автор: Клив Молер , 17 апреля 2019 г.

37 просмотров (последние 30 дней)  | 0 лайков   | 0 комментарий

Почему крышки люков круглые? Это делается для того, чтобы они не провалились в дыру, которую они должны закрывать. Они имеют одинаковый диаметр независимо от того, где он измерен. Если отверстие имеет немного меньший диаметр, невозможно сориентировать крышку так, чтобы она провалилась. Квадратную или прямоугольную крышку можно слегка повернуть, и она легко пройдет через отверстие.

Окружность — не единственная плоская кривая, обладающая свойством постоянной ширины. Треугольник Рело — следующая по известности кривая постоянной ширины. Я хочу описать интерактивную программу MATLAB®, которая генерирует обобщения треугольника Рело.

Содержание

• Franz Reuleaux
• Треугольник Reuleaux
• Параметры
• Неравномерный интервал
• Приложение постоянной ширины
• Вспомогательные функции

6 Coins

• 0066 Роторный двигатель Ванкля

Франц Рело

Изображение предоставлено Википедией Берлинская королевская техническая академия и, в конечном итоге, президент академии. Помимо своего треугольника и многих других механических творений, он известен теорией кинематических пар .

Треугольник Рело

Треугольник Рело в действии в анимированном gif-файле, показывающем один полный оборот. Стороны «треугольника» представляют собой дуги окружности; каждая составляет одну шестую окружности с центром в противоположной вершине.

Треугольник вращается, но не вокруг начала координат в его центре. Эти графики были сделаны с помощью команды MATLAB

ось плотного квадрата

, поэтому ограничивающая рамка представляет собой квадрат с длиной стороны, равной диаметру кривой. Метки x и y показывают этот диаметр. Тот факт, что диаметр не меняется при вращении фигуры, является определяющим свойством постоянной ширины.

Параметры

Эти анимации изменяют два параметра, n и дельта. На следующих двух рисунках есть n синих точек в вершинах правильного многоугольника. Есть n больших дуг; каждый представляет собой одну n-ю часть круга с центром в противоположной синей точке. Они соединяют n маленьких дуг, каждая из которых представляет собой одну n-ю часть окружности радиуса дельта с центром в ближайшей синей точке. Результирующая кривая гладкая, за исключением случаев, когда дельта равна нулю.

Диаметр всегда представляет собой расстояние от одной большой дуги окружности до противоположной малой дуги окружности, независимо от того, как повернута кривая.

Здесь n остается постоянным, равным трем, а дельта изменяется.

Здесь дельта поддерживается постоянной на уровне 0,05, а n варьируется в пределах нечетных целых чисел.

Неравномерный интервал

Синие точки не должны образовывать правильный многоугольник. Здесь они образуют треугольник 3-4-5.

Приложение с постоянной шириной

Я добавлю интерактивное приложение с константной шириной в Лабораторию Клева. Вы можете выбрать регулярный или нерегулярный интервал, варьировать n и дельту и вращать полученные кривые с любой скоростью. 92{(\frac{k\theta}{2})} + b $$

Параметрические уравнения для кривой:

$$ x = p(\theta) \cos{\theta} – p'(\theta ) \sin{\theta} $$

$$ y = p(\theta) \sin{\theta} + p'(\theta) \cos{\theta} $$

Не все варианты параметров дают выпуклые кривые, но $a = 2$, $b = 40$ и $k = 7$ дают удовлетворительную семиугольную фигуру. Постоянный размер шага $h = \pi/(12 k)$ дает

Далее Рабинович создает кривую постоянной ширины, которая на самом деле представляет собой

.0088 многочлен восьмой степени от двух переменных $x$ и $y$.

Монеты

Несколько стран чеканят монеты в виде кривых постоянной ширины.