Круглый треугольник Рело / Этюды // Математические этюды
Круглый треугольник Рело / Этюды // Математические этюдыМатематические этюды
К списку
Проектор восьмимиллиметровой киноплёнки «Луч-2». Именно он был в каждом доме, где сами снимали и смотрели киноэтюды.
В этом мультфильме рассказывается, как геометрическое понятие, часто изучаемое на математических кружках, находит применение в нашей повседневной жизни.
Колесо… Окружность. Одним из свойств окружности является ее постоянная ширина. Проведём две параллельные касательные и зафиксируем расстояние между ними. Начнём вращать. Кривая (в нашем случае окружность) постоянно касается обеих прямых. Это и есть определение того, что замкнутая кривая имеет постоянную ширину.
Бывают ли кривые, отличные от окружности и имеющие постоянную ширину?
РЕЛО Франц 1829—1905
РЕЛО Франц (Reuleaux Franz) — немецкий учёный.
Впервые (1875) чётко сформулировал и изложил основные вопросы структуры и кинематики механизмов;
разрабатывал проблему эстетичности технических объектов.
Рассмотрим правильный треугольник (с равными сторонами). На каждой стороне построим дугу окружности, радиусом, равным длине стороны. Эта кривая и носит имя «треугольник Рело». Оказывается, она тоже является кривой постоянной ширины. Как и в случае окружности проведём две касательные, зафиксируем расстояние между ними и начнём их вращать. Треугольник Рело постоянно касается обеих прямых. Действительно, одна точка касания всегда расположена в одном из «углов» треугольника Рело, а другая — на противоположной дуге окружности. Значит, ширина всегда равна радиусу окружностей, т. е. длине стороны изначального правильного треугольника.
В житейском смысле постоянная ширина кривой означает, что если сделать катки с таким профилем, то книжка будет катиться по ним, не шелохнувшись.
Однако колесо с таким профилем сделать нельзя, так как её центр описывает сложную линию при качении фигуры по прямой.
Бывают ли какие-то ещё кривые постоянной ширины? Оказывается, их бесконечно много.
На любом правильном n-угольнике с нечётным числом вершин можно построить кривую постоянной ширины по той же схеме, что был построен треугольник Рело. Из каждой вершины, как из центра, проводим дугу окружности на противоположной вершине стороне. В Англии монета в 20 пенсов имеет форму кривой постоянной ширины, построенной на семиугольнике.
Рассмотренные кривые не исчерпывают весь класс кривых постоянной ширины. Оказывается, среди них бывают и несимметричные кривые. Рассмотрим произвольный
набор пересекающихся прямых. Рассмотрим один из секторов. Проведём дугу окружности произвольного радиуса с центром в точке пересечения прямых,
определяющих этот сектор. Возьмём соседний сектор, и с центром в точке пересечения прямых, определяющих его, проведём окружность.
Все кривые данной постоянной ширины имеют одинаковый периметр. Окружность и треугольник Рело выделяются из всего набора кривых данной ширины своими экстремальными свойствами. Окружность ограничивает максимальную площадь, а треугольник Рело — минимальную в классе кривых данной ширины.
Треугольник Рело часто изучают на математических кружках. Оказывается, что эта геометрическая фигура имеет интересные приложения в механике.
Смотрите, это «Мазда RX-7». В отличие от большинства серийных машин в ней (а также в модели RX-8) стоит роторный двигатель Ванкеля.
Как же он устроен внутри? В качестве ротора используется именно треугольник Рело! Между ним и стенками образуются три камеры, каждая из которых
по очереди является камерой сгорания.
Вот вспрыснулась синяя бензиновая смесь, далее из-за движения ротора она сжимается, поджигается и крутит ротор.
Роторный двигатель лишён некоторых недостатков поршневого аналога — здесь вращение передается сразу на ось и не нужно использовать коленвал.
А это — грейферный механизм. Он использовался в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси, а чтобы на экране было чёткое изображение,
плёнку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть, и так 18 раз в секунду. Именно эту задачу решает
грейферный механизм. Он основан на треугольнике Рело, вписанном в квадрат, и двойном параллелограмме, который не даёт квадрату наклоняться в стороны.
Действительно, так как длины противоположных сторон равны, то среднее звено при всех движениях остаётся параллельным основанию,
а сторона квадрата — всегда параллельной среднему звену. Чем ближе ось крепления к вершине треугольника Рело, тем более близкую
к квадрату фигуру описывает зубчик грейфера.
Вот такие интересные применения, казалось бы, чисто математической задачи используют люди.
Литература
Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры. — М.—Л.: ГТТИ, 1951.
Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры: Опыты математического мышления. — М.: ОНТИ, 1936. — (Библиотека математического кружка; Вып. 10). — [Переиздания: 1938, 1962, 1966, 2020].
Смотри также
Фигуры постоянной ширины // Математическая составляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. — Второе издание, расширенное и дополненное. — М. : Математические этюды, 2019. — С. 84—85, 319—320.
Другие этюды раздела «Кривые (фигуры) постоянной ширины»
Сверление квадратных отверстий Изобретая колесоМатематические этюды
Треугольник Рёло
Треугольник Рело по-другому еще называют «круглым» треугольником. Он представляет собой область пересечения трех равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне.
Его строят последовательным проведением трех равных окружностей. Нужно провести две окружности с одинаковым радиусом, но так, чтобы центр второй совпадал с одной из точек первой (кроме центра). Проводим третью окружность, так что бы её центр совпадал с точкой пересечения первых окружностей. Область, которая принадлежит всем трем кругам и есть треугольник Рёло. Строят его с помощью одного только циркуля. Покажем на рис. 1.
Рис. 1
Треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой. Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° – это треугольник Рёло.
Если провести две параллельные прямые на некотором расстоянии, то фигура при качении будет касаться обеих прямых постоянно.
Расстояние между ними и будет фигура постоянной ширины. Простейшей такой фигурой будет круг.
Рис. 2
Пусть а – это ширина фигуры, тогда площадь
а периметр
(рис. 2).
Также, треугольник Рёло используется в автомобильных двигателях, в грейферном механизме в кинопроекторах, в кулачковых механизмах швейных машин, механизме наручных часов. В форме треугольника Рёло можно изготавливать крышки для люков. Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник» в сечении представляет собой именно эту фигуру. Свойство треугольника Рело – качение по квадрату, позволяет применять его в интересных областях (рис. 3).
Рис. 3
Треугольник Рёло вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно касаясь всех четырёх сторон. Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах – там вершина описывает дугу эллипса.
Центр этого эллипса расположен в противоположном углу квадрата, а его большая и малая оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны (рис.3).
Рис. 4
Все 4 эллипса касаются смежных сторон квадрата на расстоянии от угла (рис.4).
Среди всех многоугольников Рёло с фиксированным числом сторон и одинаковой шириной правильные многоугольники ограничивают. Если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной. Поскольку одна из прямых всегда проходит через вершину треугольника, а другая касается противоположной дуги, то ширина треугольника равна радиусу образующих его кругов (рис. 5) наибольшую площадь.
Рис. 5
Открытие треугольника Рёло сделало переворот в научно-техническом мире, так как отличительные его свойства находят множество применений.
Reuleaux Triangle – Прикольные формы, о которых вы никогда не слышали
Формы постоянной ширины
В 1960-х годах парламент Соединенного Королевства принял закон о десятичной валюте, чтобы перевести их валюту в десятичную форму.
Десятичная система счисления — это процесс преобразования денежной системы в систему, основанную на числе десять.
Совет по десятичным валютам (DCB) был создан для наблюдения за этим переходом. Во время перехода DCB рассматривал возможность использования для своих новых монет другой формы, а не круга. Им нужен был дизайн, который легко отличить от других монет на ощупь и на вид. Основным требованием к монете является возможность ее обращения в торговых автоматах. Так появилась идея использовать фигуры постоянной ширины. Кристофер Айронсайд, дизайнер монеты в 50 пенсов, использовал форму равностороннего изогнутого семиугольника. Стороны равностороннего изогнутого семиугольника, как следует из названия, изогнуты, в отличие от правильного семиугольника, который является плоским.
Монета номиналом 50 пенсов 1960-х годов – Изображение предоставлено Online Coin Club Такой дизайн позволяет слепым и слабовидящим людям различать разные монеты, при этом монета может вращаться так, как если бы она была круглой.
Хотя форма выглядит как семиугольник, семиугольник с равносторонней кривизной может плавно вращаться, как круг.
Треугольник Рело
Есть много других форм, которые имеют постоянную ширину. Одной из таких фигур является треугольник Рело.
Формы постоянной ширины имеют одинаковое расстояние между двумя поддерживающими параллельными линиями независимо от их ориентации. Проще говоря, его ширина одинакова во всех направлениях.Окно в форме треугольника Рело в церкви Богоматери 13 века, Брюгге, Бельгия – Предоставлено LEMeZza
Треугольник Рело назван в честь Франца Рело, инженера 19 века, изучавшего его свойства. Треугольник Рело — это просто треугольник с изогнутыми сторонами. Самое интересное в треугольнике Рело состоит в том, что он имеет наименьшую площадь и самый острый угол из возможных для фигуры постоянной ширины. Угол при каждом углу треугольника Рело равен 120°. Хотя его название восходит к 19го века, эта форма существовала еще раньше, и ее можно увидеть в архитектуре, предшествующей 19 веку.
Создание треугольника Рело
- Начертите равносторонний треугольник
- Отцентрируйте циркуль на одном из углов равностороннего треугольника и начертите окружность. Убедитесь, что дуга окружности касается двух других углов равностороннего треугольника.
3. Повторите шаг 2 для двух других углов равностороннего треугольника. Заштрихованная область — треугольник Рело.
Как это работает
Перекатывание треугольника Рело – GIF любезно предоставлено Ruleroll В этом эксперименте у вас есть 2 параллельные линии. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно ширине треугольника Рело. Расстояние между двумя параллельными линиями остается неизменным на протяжении всего эксперимента. В любой момент времени один из углов будет соприкасаться с одной из параллельных линий, в то время как дуга на противоположной стороне этой угловой дуги соприкасается с другой параллельной линией. Видно, что треугольник соприкасается с параллельными прямыми и остается внутри них.
Это доказывает, что треугольник Рело имеет постоянную ширину независимо от его ориентации. Поэтому он может плавно катиться, как круг. Видео от Rad-head относительно треугольника reuluax доказывает, что это действительно так.
Другие свойства
Смещение центроида
Хотя треугольник Рело катится как круг, причина, по которой он обычно не используется, заключается в смещении его центроида при вращении. У кругов есть центроид, который остается неподвижным в центре при вращении. Однако, когда мы прослеживаем вращение треугольника Рело, мы видим, что траектория движения его центроида образует волнообразный узор, как показано на изображении ниже.
Положение центра тяжести при вращении треугольника Рело – Изображение предоставлено whistleralley.com Чтобы колесо треугольника Рело не отклонялось от намеченной траектории, его необходимо закрепить.
Однако ось, на которой закреплено колесо, должна иметь возможность свободно перемещаться вверх и вниз, чтобы компенсировать движение центра тяжести.
Инженер по имени Фил Миллер смог сконструировать велосипед, который едет плавно, несмотря на использование треугольников Рело в качестве колес. Он преодолел эту проблему, позволив передней и задней подвеске велосипеда свободно двигаться в соответствии с ориентацией колеса — простое решение сложной проблемы.
Вращение внутри квадрата
Вращение треугольника Рело внутри квадрата – изображение предоставлено LEMeZza Когда треугольник вращается внутри квадрата, он может оставаться внутри квадрата и оставаться в контакте со всеми 4 сторонами квадрата во все времена.
Обратите внимание, что ось вращения не остается фиксированной в одной точке. Кроме того, центроид делает 3 оборота в противоположном направлении за каждый полный оборот треугольника Рело. Эта концепция сделала применение такой конструкции относительно сложным, поскольку инженеры должны учитывать вращение центроида. Однако инженеры смогли решить эту проблему, включив шестерни и используя уникальные свойства этой формы. Эту конструкцию можно увидеть в роторном двигателе Mazda RX-7.
Математика.
Интересный факт:
Отношение длины окружности к ее диаметру равно числу пи. Интересно, что отношение длины окружности треугольника Рело к его ширине также равно пи.
Заключение
Тетраэдр Рело – Предоставлено Jailbird Подобно сфере и кругу, существует тетраэдр Рело, который является трехмерной формой треугольника Рело. С той же базовой концепцией тетраэдр Рело вращается точно так же, как сфера.
Хотя треугольник Рело существует уже много столетий, он не использовался до тех пор, пока в конце 1900-х годов не появились технологии. Из-за своих уникальных свойств треугольник Рело используется только в очень специфических приложениях, поэтому он также редко используется.
Ссылки
Велоспорт. (2018). Этот парень построил велосипед с треугольными колесами, на котором действительно можно ездить [видео на YouTube]. В YouTube . https://www.youtube.com/watch?v=oobpwxMKD0s
Гарднер, М. (2014). Узлы и кольца Борромео, плитки рептилий и восемь королев: неожиданное повешение Мартина Гарднера (стр. 223–246). Издательство Кембриджского университета; Вашингтон, округ Колумбия.
Брайант, Дж., и Сангвин, К. (2011). Насколько круглый ваш круг? : где встречаются инженерия и математика (стр. 191–201). Издательство Принстонского университета.
Ху, X., Ли, Н., и Лю, Б. (2019). Моделирование и применение треугольника Рело в геометрических измерениях – Пекинский научно-технический университет, Пекин .
https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1755-1315/310/2/022028/pdf
Кункель, П. (2015, 23 октября). Треугольник Рело . Whistleralley.com. http://whistleralley.com/reuleaux/reuleaux.htm
Маор, Э., и Йост, Э. (2014). Красивая геометрия (стр. 154–156). Издательство Принстонского университета.
Объяснение математики. (2020). Reuleaux Triangles — расширение GCSE Higher [YouTube Video]. В YouTube . https://www.youtube.com/watch?v=aDRmbLHyq8A&t=127s
Moon, FC (2007). Машины Леонардо да Винчи и Франца Рело: кинематика машин от эпохи Возрождения до 20 века (стр. 47–59). Спрингер.
рад-головка. (2018). Объяснение форм постоянной ширины [видео на YouTube]. В Ютуб . https://www.youtube.com/watch?v=quuw4HC96bE
Королевский монетный двор. (2021). Монеты 50 пенсов . Royalmint.com. https://www.royalmint.com/discover/uk-coins/coin-design-and-specifications/fifty-pence-coin/
Катание с Reuleaux
Вы когда-нибудь задумывались, почему крышка люка почти всегда круглый? Почему он не овальный или квадратный?
Кривая Рело на основе равностороннего треугольника.
Кривые Рело на основе пятиугольника (вверху) и семиугольника (внизу).Обычный ответ: круглая крышка, в отличие от квадратной или овальной, не выпадет в отверстие. Невозможно расположить круглую крышку так, чтобы она могла проскользнуть через чуть меньшее отверстие той же формы. Это потому, что круг имеет постоянный диаметр. Она одинаковой ширины по всему периметру.
Напротив, овал или эллипс в длину больше, чем в ширину. Всегда можно найти способ просунуть овальную крышку через отверстие такой же формы. Это также относится к квадратной или шестиугольной крышке.
Удивительно, но круг — не единственная форма, которую можно безопасно использовать в качестве крышки люка. На самом деле подойдет любая форма постоянной ширины, и таких форм бесконечно много. Простейшим примером является треугольник Рело, названный в честь выдающегося инженера-механика Франца Рело (1829–1905), который более 100 лет назад преподавал в Берлине.
Подпишитесь на новости науки
Получайте лучшие научные журналистские материалы из самых надежных источников с доставкой прямо к вашему порогу.
Подписаться
Один из способов нарисовать треугольник Рело — начать с равностороннего треугольника, у которого три стороны одинаковой длины. Нарисуйте три дуги окружностей, каждая из которых имеет в качестве центра один из углов треугольника, а в качестве концов – два других угла. Получившийся «изогнутый треугольник», как назвал его Рело, имеет постоянную ширину, равную длине стороны внутреннего треугольника.
Эта форма с закругленными углами может быть знакома по поперечному сечению бутылки NyQuil или Pepto-Bismol. Его наиболее заметное и успешное применение вполне может быть в роторном двигателе внутреннего сгорания Ванкеля, который когда-то приводил в действие несколько типов автомобилей, производимых Mazda, и до сих пор используется в прототипе спортивного автомобиля Mazda RX-Evolv. Двигатель имел изогнутый треугольный ротор, вращающийся в корпусе особой формы.
Как и круг, треугольник Рело плотно вписывается в квадрат, стороны которого равны ширине кривой, независимо от того, в какую сторону повернут треугольник.
Действительно, скругленный треугольник может свободно вращаться внутри квадрата. Интересно, что при вращении изогнутая фигура очерчивает путь, который в конечном итоге охватывает почти все части квадрата. Это свойство лежит в основе оригинальной вращающейся дрели, которая, ограниченная специальной направляющей пластиной, просверливает квадратные отверстия.
Кривую постоянной ширины можно построить не только из равностороннего треугольника, но и из любого многоугольника с нечетным числом сторон. Таким образом, вы можете легко получить изогнутый пятиугольник, семиугольник и так далее. Некоторые монеты имеют округлую семиугольную форму, что позволяет использовать их в игровых автоматах, рассчитанных на обычные монеты.
Кривые Рело, описанные до сих пор, имеют углы – точки, где две стороны сходятся под углом. Однако из угловатых форм легко построить кривые постоянной ширины со скругленными углами. Более того, кривая постоянной ширины не обязательно должна быть симметричной или даже состоять из дуг окружности.
Следовательно, возможно неограниченное количество кривых постоянной ширины, и треугольник Рело оказывается членом семейства кривых наименьшей площади.
Почему нельзя использовать многоугольники Рело вместо колес? Проблема в том, что у этих многоугольников нет фиксированного центра вращения. Ступица круглого колеса, например, остается на фиксированной высоте над землей, обеспечивая плавное горизонтальное движение. Напротив, центр, скажем, треугольника Рело колеблется при вращении кривой. Это не имеет значения для роликов, уложенных на поверхность для облегчения прохождения тяжелого груза, но имеет значение, если ролик или колесо имеют фиксированную ось.
Фрэнсис С. Мун, профессор машиностроения и аэрокосмической техники Корнельского университета в Итаке, штат Нью-Йорк, внимательно изучил Франца Рело и его работу. Одним из особых интересов Рело была кинематика — математическое описание движения.
При разработке каталога механизмов, которые можно было бы комбинировать для создания новых машин, Рело сосредоточился на различных способах, которыми машины преобразуют одно движение в другое.
